• Lea con atención cada una de las siguientes preguntas y seleccione el literal de
la alternativa correcta (a, b, c), más de una le podrá parecer correcta, pero no es
así; existe una única solución.
1. Cuál de las siguientes gráficas cumple con el concepto de continuidad de una
función f(a).
a.
b.
c.
2. Indicar cuál de las siguientes gráficas no es simétrica.
a.
b.
c.
3. Identificar cuál de las siguientes afirmaciones no corresponde al concepto de
concavidad:
a. Se usa para determinar cuándo una función es creciente o decreciente.
b. Se usa para conocer la forma de la curva en base a la primera derivada.
c. Se usa para la localización de máximos y mínimos relativos.
4. Reconocer los pasos para encontrar máximos y mínimos de una función f(x)
aplicando la técnica “prueba de la segunda derivada”.
a. Obtener la primera derivada f’(x); Obtener puntos críticos; Evaluar puntos
críticos.
b. Obtener la primera derivada f’(x); Obtener puntos críticos; Obtener la
segunda deriva derivada f’’(x); Evaluar puntos críticos en la primera
derivada f’(x).
c. Obtener la primera derivada f’(x); Obtener puntos críticos; Obtener
la segunda deriva derivada f’’(x); Evaluar puntos críticos en la segunda
derivada f’’(x).
5. Reconocer cuál de las siguientes gráficas no cumple el concepto de función
f(x).
a.
b.
c.
6. Encuentre la derivada parcial de la función
𝒈𝒈𝒙𝒙,𝒚𝒚,𝒛𝒛 =𝟐𝟐𝒙𝒙𝒚𝒚
𝟐𝟐
𝒛𝒛
𝟔𝟔−𝟒𝟒𝒙𝒙²𝒚𝒚³𝒛𝒛²+𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝒛𝒛 con respecto a cada una de las
variables:
a.
a. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,
𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=
12𝑥𝑥𝑦𝑦
&
𝑧𝑧^5−8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
b. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑥𝑥𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
c. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
b.
a. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,
𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=
12𝑥𝑥𝑦𝑦
&
𝑧𝑧^5−8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
b. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑥𝑥𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
c. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
c.
a. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,
𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=
12𝑥𝑥𝑦𝑦
&
𝑧𝑧^5−8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
b. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑦𝑦
,+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦−12𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑥𝑥𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
c. 𝑔𝑔"=2𝑦𝑦
&
𝑧𝑧
(−8𝑥𝑥𝑧𝑧
&+3𝑦𝑦𝑧𝑧;𝑔𝑔0=4𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
(−12𝑥𝑥
&
𝑧𝑧
&+3𝑥𝑥𝑧𝑧; 𝑔𝑔4=12𝑦𝑦
&−
8𝑥𝑥
&
𝑦𝑦
,+3𝑥𝑥𝑦𝑦;
7. Para resolver la ecuación diferencial (2 + x) y' = 3 y; por el método de
separación de variables, la igualdad correcta es:
a.
a.
123
x
dy dx
y
+
=
∫∫
b.
113
2
dy dx
yx=
+
∫∫
c. ( )
1
32 dy x dx
y
=+ ∫∫
b.
a.
123
x
dy dx
y
+
=
∫∫
b.
113
2
dy dx
yx=
+
∫∫
c. ( )
1
32 dy x dx
y
=+ ∫∫ c.
a.
123
x
dy dx
y
+
=
∫∫
b.
113
2
dy dx
yx=
+
∫∫
c. ( )
1
32 dy x dx
y
=+ ∫∫
8. Para resolver la ecuación diferencial y' = 4 y; por el método de separación
de variables, la igualdad correcta es:
a.
a.
1
4 dx dy
y
=
∫∫
b.
1
4 dy dx
y
=
∫∫
c. 4 ydy dx =
∫∫
b.
a.
1
4 dx dy
y
=
∫∫
b.
1
4 dy dx
y
=
∫∫
c. 4 ydy dx =
∫∫ c.
a.
1
4 dx dy
y
=
∫∫
b.
1
4 dy dx
y
=
∫∫
c. 4 ydy dx =
∫∫
9. La solución particular de la Ecuación Diferencial:
2
2
1
x y'+ = 0
y
; y(1) = 2; es:
a.
a.
3
1
3
y
C
x
=+
b. 3
3
5 y
x
=+
c.
3
1
5
3
y
C
x
=+
b.
a.
3
1
3
y
C
x
=+
b. 3
3
5 y
x
=+
c.
3
1
5
3
y
C
x
=+ c.
a.
3
1
3
y
C
x
=+
b. 3
3
5 y
x
=+
c.
3
1
5
3
y
C
x
=+
10. La solución general de la Ecuación Diferencial: y ln x – xy’ =0; es:
a.a.
( )
2
2
lnx
y Ce =
b.
( )
2
2
2
lnx
ye=
c.
1
ln dy x dx
y
=
b.
a.
( )
2
2
lnx
y Ce =
b.
( )
2
2
2
lnx
ye=
c.
1
ln dy x dx
y
=
c.
a.
( )
2
2
lnx
y Ce =
b.
( )
2
2
2
lnx
ye=
c.
1
ln dy x dx
y
=
a.
a.
( ) ( )
()
p x dx p x dx
ye Q x e dx C
∫∫=+∫
b.
() ()
dy
Pxy Qx
dx
+=
c.
( )
() ()
p x dx dy
Pxy Qxe
dx
∫
+=
b.
a.
( ) ( )
()
p x dx p x dx
ye Q x e dx C
∫∫=+∫
b.
() ()
dy
Pxy Qx
dx
+=
c.
( )
() ()
p x dx dy
Pxy Qxe
dx
∫
+= c.
a.
( ) ( )
()
p x dx p x dx
ye Q x e dx C
∫∫=+∫
b.
() ()
dy
Pxy Qx
dx
+=
c.
( )
() ()
p x dx dy
Pxy Qxe
dx
∫
+=
12. Si z=f (x,y); la derivada parcial de fcon respecto a x, denotada por f
x
, es la
función dada por: _______________________________ siempre que el límite
exista.
a.
a.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
++ =
b.
0
(, ) (,)
( , ) lim
x
h
f xy h f xy
f xy
h →
+ −
=
c.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
+ −
=
b.
a.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
++ =
b.
0
(, ) (,)
( , ) lim
x
h
f xy h f xy
f xy
h →
+ −
=
c.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
+ −
= c.
a.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
++ =
b.
0
(, ) (,)
( , ) lim
x
h
f xy h f xy
f xy
h →
+ −
=
c.
0
( ,) (,)
( , ) lim
x
h
fx hy fxy
f xy
h →
+ −
=
13. Dado ( ) ( )
2
27 ( , , , ) ln h r s t u s tu r st =+ + evaluando h
s
(1, 0, 0, 1)obtenemos:
a. s
2
+ tu
b. 0
c. -2
14. Si z = f(x, y)tiene un máximo o mínimo relativo en (a, b), y si f
x
y f
y
están
definidas para todo punto cercano a (a, b), es necesario que (a, b)sea una
solución del sistema 0
0
(,)
(,)
x
y
f xy
f xy
= ⎧⎪
⎨
= ⎪⎩
Un punto (a, b)para el cual f
x
(a, b) = f
y
(a, b) = 0 se llama:
a. Punto crítico.
b. Mínimos ó máximos relativos.
c. Extremos relativos.
15. El punto crítico de la función (,) f x y xy x y = − + es:
a. (-1, 1)
b. (3, -2)
c. (-1, -2)
16. Para el proceso de evaluación de los puntos extremos, si hay puntos críticos,
éstos se hallan con la ____________ derivada con respecto a xy a y.
a. Primera.
b. Segunda.
c. Tercera.
17. El (los)punto(s)crítico(s)de la función f(x, y) = x
2
+ 4y
2
-6x +16yes (son):
a. (3, -2); (-1, 1)
b. (-1, 1)
c. (3, -2)
18. Dado:
2 dy
= 2 xy
dx ;
2
1
y=-
x +C
a.
a.
2 dy
= 2 xy
dx
b.
2
1
y=-
x +C
2 dy
= 2 xy
dx
c.
2
y' = 2 xy
2
1
y=-
x +C
es una ecuación diferencial separable.
b.
a.
2 dy
= 2 xy
dx
b.
2
1
y=-
x +C
2 dy
= 2 xy
dx
c.
2
y' = 2 xy
2
1
y=-
x +C
es una solución particular de
a.
2 dy
= 2 xy
dx
b.
2
1
y=-
x +C
2 dy
= 2 xy
dx
c.
2
y' = 2 xy
2
1
y=-
x +C
c.
a.
2 dy
= 2 xy
dx
b.
2
1
y=-
x +C
2 dy
= 2 xy
dx
c.
2
y' = 2 xy
2
1
y=-
x +C
es una solución general de
a.
2 dy
= 2 xy
dx
b.
2
1
y=-
x +C
2 dy
= 2 xy
dx
c.
2
y' = 2 xy
2
1
y=-
x +C
19. Dado:
22 dy
=x y
dx ;
3
3
y=-
x +C
;
a. 3
3
y=-
x +C
es una solución particular de
22 dy
=x y
dx
b. y’ = x
2
y
2
es una ecuación diferencial lineal de 1
er.
orden
c.
22 dy
=x y
dx
es una ecuación diferencial separable
20. Determinar cuál es la función solución de la Ecuación Diferencial
xy’ -2y= x
3
e
x
a. y = x
2
b. y = -C(x
3
e
x
-xy’)/2
c. y = x
2
e
x
21. Dada la Ecuación Diferencial xy’-3y=0 ; con condición inicial y=2; x=-3; la
función y=-27x
3
es una:
a. Solución general.
b. Solución particular pero no de la ecuación diferencial planteada
c. Ninguna de las anteriores
22. Por el método de separación de variables, la ecuación diferencial de
2
4 ()dy
x xy
dx
+=
; es:
a.
a.
2
1
4
x
dy dx
yx
=
+
∫∫
b.
2
4
dy x
dx
yx=
+
∫∫
0 () ()
dy
Mx Ny
dx
+=
b.
a.
2
1
4
x
dy dx
yx
=
+
∫∫
b.
2
4
dy x
dx
yx=
+
∫∫
0 () ()
dy
Mx Ny
dx
+=
c.
a.
2
1
4
x
dy dx
yx
=
+
∫∫
b.
2
4
dy x
dx
yx=
+
∫∫
0 () ()
dy
Mx Ny
dx
+=
23. Dado
3 2 44
z=ln(5x y +2y )encuentre z
y
a.
a.
2
32
60
52
x
xy+
b.
32
2
52
60
xy
x
+
c.
d.
( )
23 2 60 5 2 xx y+
b.
a.
2
32
60
52
x
xy+
b.
32
2
52
60
xy
x
+
c.
d.
( )
23 2 60 5 2 xx y+
c.
a.
2
32
60
52
x
xy+
b.
32
2
52
60
xy
x
+
c.
d.
( )
23 2 60 5 2 xx y+
24. La tasa de crecimiento exponencial se denota con la ecuación:
a. N=N
0
ekt
b. S=C
e
rt
c. N=N
0
e-λt
25. La tasa de decaimiento exponencial se denota con la ecuación:
a. N=N
0
ekt
b. S=C
e
rt
c. N=N
0
e-λt
26. El factor de crecimiento para f(x) = 4.3
x
es:
a. 3
b. 4
c. 12
27. ¿Cuál es la tasa (porcentual) de crecimiento constante de P(t)=1.23 x 1.049
t
?
a. 4.9%
b. 49%
c. 23%
28. Una sola célula de Ameba se duplica cada 4 días aproximadamente, ¿cuánto
tiempo pasará para que una Ameba produzca una población de 1,000?
a. 30 días
b. 40 días
c. 10 días
29. La población de Quito es 89,000 y disminuye 1.8% cada año. Escriba una
función que modele la población como una función del tiempo t.
9 Prediga cuándo la población sera 50,000
¿Cuál de las siguientes opciones es la correcta ?
a. a) P(t)=89000(0.982)
5
b)31.74 años
b. a) P(t)=89000(0.982)
t
b)31.74 años
c. a) P(t)=8900(0.982)
t
b)31.74 años
30. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial?
a. f(x)=x
3
b. f(x)=a
2
c. f(x)=8
x
31. Encontrar el dominio y rango de la función con respecto al gráfico.
a. dominio [-2, ∞); Rango [1, ∞)
b. dominio [3, ∞); Rango [3, ∞)
c. dominio [-2, ∞); Rango [-2, ∞)
32. Encontrar el dominio y rango de la función con respecto al gráfico.
a. dominio [-5, 3]; Rango [-2, 2]
b. dominio (-5, 2]; Rango (-2, 3]
c. dominio [-5, 2); Rango (-2, 2]
33. Encontrar el dominio y rango de la función con respecto al gráfico
a. dominio (-∞ -1,) U [2, ∞); Rango (-3 -1) U [2, 4)
b. dominio [-∞ -1,) U [-2 , ∞);; Rango (-3 -1) U [2, 4]
c. dominio (-∞ -1,] U [-1, ∞);; Rango (-3, -1) U [2, 4]
34. Determine el dominio y rango de la siguiente función 𝒇𝒇𝒙𝒙 =
𝒙𝒙
𝒙𝒙
𝟐𝟐%𝟒𝟒
a. Dominio (-∞ , ∞); Rango (-∞, ∞)
b. Dominio (-∞,-2] U [-2, ∞); Rango (-∞, -1] U [-1, ∞)
c. Dominio (-∞,-2]; Rango [-1, ∞)
35. Usar la diferenciación para encontrar 𝒅𝒅
𝟐𝟐
𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
de la función
a. a. −
"#
$%
b.
"#
$%
b.
a. −
"#
$%
b.
"#
$%
c. 64y
36. Usar la diferenciación para encontrar
𝒅𝒅
𝟐𝟐
𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
de la función
a.
a. −
"#
$
%&
b.
"#
$
%&
c. −
"#
$
%$
b.
a. −
"#
$
%&
b.
"#
$
%&
c. −
"#
$
%$
c.
a. −
"#
$
%&
b.
"#
$
%&
c. −
"#
$
%$
37. Usar la diferenciación para encontrar
𝒅𝒅
𝟐𝟐
𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
de la función
a. a.
!"
#$
b. −
!"
#$
c. −
!"
#
b.
a.
!"
#$
b. −
!"
#$
c. −
!"
#
c.
a.
!"
#$
b. −
!"
#$
c. −
!"
#
38. Usar la diferenciación para encontrar
𝒅𝒅
𝟐𝟐
𝒚𝒚
𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐
de la función
a.
a.
!
"#
b.-
!
"#
$/&
c.
!
"#
$/&
b.
a.
!
"#
b.-
!
"#
$/&
c.
!
"#
$/&
c.
a.
!
"#
b.-
!
"#
$/&
c.
!
"#
$/&
39. Si V es el volumen de una esfera de radio r y la esfera se expande conforme
pasa el tiempo , encontrar
𝒅𝒅𝒅𝒅
en términos de
𝒅𝒅𝒅𝒅
en términos de 𝒅𝒅𝒅𝒅
en términos de
𝒅𝒅𝒅𝒅
a. a. 4⊓𝑟𝑟
$%&
%'
b. 4⊓𝑟𝑟
$
%(
%'
c. 4⊓−𝑟𝑟
$%&
%'
b.
a. 4⊓𝑟𝑟
$%&
%'
b. 4⊓𝑟𝑟
$
%(
%'
c. 4⊓−𝑟𝑟
$%&
%'
c.
a. 4⊓𝑟𝑟
$%&
%'
b. 4⊓𝑟𝑟
$
%(
%'
c. 4⊓−𝑟𝑟
$%&
%'
40. Encontrar el máximo y mínimo absoluto de la función
usando el método del intervalo [-2,3].
a. Máximo absoluto 3, mínimo absoluto 67.
b. Máximo absoluto 67, mínimo absoluto 3.
c. No máximo absoluto , no mínimo absoluto .
PRUEBA ENSAYO (4 puntos)
• Analice cada ejercicio detenidamente antes de desarrollarlo, lea lo que se pide,
al resolverlo compare sus respuestas con las facilitadas y seleccione una de ellas.
1. En la función dada: encuentre los puntos de las funciones. Para cada punto crítico,
determine, por medio de la prueba de la segunda derivada, si corresponde a un
máximo relativo, a un mínimo relativo, a ninguno de los dos, o si la prueba no
da información. La función es:
Función
I. (4, 0), máximo relativo; (4,√2), mínimo relativo; (0, 1/2), (0, 0), ninguno.
J. (0, 0), máximo relativo; (4, 1/2), mínimo relativo; (0, 1/2), (4, 0), ninguno.
K. (0, 0), mínimo relativo; (4,√2), máximo relativo; (0, 1/2), (4, 0), ninguno.
a. I
b. K
c. J
2. El número de bacterias en un cultivo se incrementó acorde a la ley de crecimiento
exponencial. Después de 30minutos se tiene 100bacterias en el cultivo, y 300
bacterias después de 4 horas. Resolver los siguientes requerimientos:
Requerimientos Respuestas
G. Cuál es la población inicial? 1.
0.3139 t
y = 85.48 e
H.
Plantear un modelo de crecimiento exponencial de la
población bacteriana. Sea tel tiempo EN HORAS.
2. ≈ 85.48
I.
Usar el modelo para determinar el número de bacterias
después de 7 horas.
3. ≈ 7.8
J.
Después de cuántas horas la cantidad de bacterias
será de 1000?
4. ≈ 769.32
a. G-2, H-1, I-4, J-3
b. G-2, H-1, I-3, J-4
c. G-3, H-1, I-4, J-2
3. Usar la gráfica para encontrar el máximo absoluto, mínimo absoluto , máximo
local, y mínimo local. Note que los puntos finales podrían no ser considerados
como máximo local o mínimo local.
Función de varias variables Respuestas
G. 1.
Máximo absoluto y=4, mínimo
absoluto
y = 0; máximo local (5,4); mínimo
local (1,0); (7,2)
H. 2.
No máximo absoluto, no mínimo
absoluto; no máximo local; no
mínimo local.
I. 3.
Máximo absoluto y=3, no mínimo
absoluto; máximo local (3,3)(5,3);
mínimo local (4,1)
J. 4.
No Máximo absoluto, mínimo
absoluto
y = –1; No máximo local;
mínimo local (1,-1)
a. G-2, H-3, I-1, J-4
b. G-4, H-3, I-2, J-1
c. G-2, H-1, I-3, J-4
Función de varias variables Respuestas
G.
Encontrar el máximo y mínimo
absoluto de la función
usando el método del intervalo [0,3].
1.
Cóncava por arriba (1, ∞); cóncava
por abajo(-∞ ,1)
H.
Usar la primera derivada para
encontrar un valor máximo y mínimo
local de la función
2.
Máximo absoluto 1/2, mínimo
absoluto
I.
Encontrar el intervalo donde la
función es cóncava
por arriba y cóncava por abajo
3.
No cóncava por arriba; cóncava
por abajo(-∞, 0)(0, ∞)
J.
Encontrar el intervalo donde la
función es cóncava
por arriba y cóncava por abajo
4.
Máximo local (-1,7), mínimo local
(2,-20)
a. G-2, H-4, I-1, J-3
b. G-4, H-3, I-2, J-1
c. G-2, H-1, I-3, J-4
